Operasi – Operasinya
I.1 Pendahuluan
Definisi :
Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda
kurung.
Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n
kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m x n. Penulisan matriks
biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan
matriks beserta ukurannya (matriks dengan m baris dan n kolom ) adalah Amxn, Bmxn
dan seterusnya.
Bentuk umum
Bentuk umum dari Amxn adalah :
Amxn =
   


   


m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a
...
: : ::: :
...
...
1 2
21 22 2
11 12 1
,
aij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
I.2 Jenis – jenis matriks
Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada
pembahasan selanjutnya, yaitu :
a. Matriks Bujur sangkar
Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah
kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal
istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang
berukuran nxn, yaitu : a11, a22, …, ann.
Contoh 1.2.1
A2x2 = 




21 22
11 12
a a
a a dengan elemen diagonal a11 dan a22
A3x3 =
  


  


31 32 33
21 22 23
11 12 13
a a a
a a a
a a a
dengan elemen diagonal a11 ,a22 dan a33
b. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol.
Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.
Contoh 1.2.2
A = 


 
0 3
1 0 B = 




0 0
1 0 , C = 




0 0
0 0
Matriks dan operasi – operasinya
Yuliant Sibaroni
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
2
c. Matriks Nol
Mariks Nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol.
d. Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah atau
diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen – elemen
dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas , sebaliknya disebut
matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen
diagonal harus bernilai tak nol.
Contoh 1.2.3
A =
  


  


0 0 1
0 0 2
1 0 1
, B =
  


  


0 1 0
1 0 0
0 0 0
, C =
  


  


0 0 2
0 1 0
1 0 0
Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas
sedangkan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga
atas.
e. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1
f. Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi
Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi
syarat– syarat berikut :
1. Untuk semua baris yang elemen – elemennya tak–nol , maka bilangan
pertama pada baris tersebut haruslah = 1 ( disebut satu utama ).
2. Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang
terletak pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan
daripada satu utama pada baris yang lebih atas.
3. Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut
diletakkan pada bagian bawah matriks.
4. Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat
lainnya.
Contoh 1.2.4
A =
  


  


0 0 0 0
0 0 1 1
1 1 0 2
, B =
  


   

0 0 1
0 1 0
1 0 0
, C =
   


   


0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
Matriks A , B dan C adalah matriks – matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi
dan notasi 1 menyatakan satu utamanya. Contoh berikut menyatakan matriks –
matriks yang bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi.
Matriks dan operasi – operasinya
Yuliant Sibaroni
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
3
Contoh 1.2.5
D =
  


  


0 0 0 0
0 1 1 0
1 1 0 2
, E =
  


  


0 0 1 0 2
0 0 0 0 0
1 1 0 0 0
Matriks D bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi karena elemen d12 bernilai 1
sehingga tidak memenuhi syarat ke – 4 ( harusnya = 0 ), sedangkan matriks E tidak
memenuhi karena baris kedua yang merupakan baris nol letaknya mendahului baris
ketiga yang merupakan baris tak nol, sehingga syarat ketiga tidak terpenuhi.
Jika suatu matriks hanya memenuhi syarat 1–3 saja, maka dikatakan matriks
tersebut memiliki bentuk eselon baris.
I.3 Operasi – operasi matriks
a. Penjumlahan matriks
Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran
yang sama.
Aturan penjumlahan
Dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks
Contoh:




+ +
+ +
= 




+ 




c g d h
a e b f
g h
e f
c d
a b
b. Perkalian matriks dengan matriks
Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika
jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B.
Aturan perkalian
Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen – elemen dari C( cij)
merupakan penjumlahan dari perkalian elemen–elemen A baris i dengan elemen–
elemen B kolom j
Contoh :
A = 




d e f
a b c , B =
   

  


m p
l o
k n
maka A23 B32 = C22 = 




+ + + +
+ + + +
dk el fm dn eo fp
ak bl cm an bo cp
c. Perkalian matriks dengan skalar
Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap –tiap elemen pada A
dikalikan dengan k.
Contoh 1.3.1
3 




d e f
a b c = 




d e f
a b c
3 3 3
3 3 3
Matriks dan operasi – operasinya
Yuliant Sibaroni
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
4
d. Transpose matriks
Transpose matriks A ( dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks yang baris –
barisnya merupakan kolom dari A.
Contoh : A = 




4 5 6
1 2 3 􀃆 At =
  


  


3 6
2 5
1 4
Sifat – sifat dari operasi matriks
- A+B = B+A
- A+ ( B+C ) = ( A+B) + C
- AB ≠ BA
- A ( BC ) = ( AB ) C
- ( At )t = A
- ( AB )t = BtAt
I.4 Matriks Invers
Definisi
Jika A, B matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA = I ( I matriks identitas ), maka
dikatakan bahwa A dapat dibalik dan B adalah matriks invers dari A ( notasi A–1 ).
Contoh : A = 




−
−
1 3
2 5 , B = 




1 2
3 5 􀃆 AB = BA = 




0 1
1 0
Maka B = A–1 dan A = B–1
Sifat yang berlaku :
- ( A–1 )–1 = A
- ( AB )–1 = B–1A–1
Latihan I
1. Tentukan jenis dari matriks – matriks dibawah ini ( jika memenuhi lebih dari satu,
tuliskan semua ) !
A = 




0 1
1 0 , B =
  


  


1 0 1
0 0 0
1 0 0
, C =
  


  


0 0 0
0 1 2
1 0 2
, D =
  


  


0 0 1
0 0 0
1 2 2
2. Diketahui A = 




0 1
1 0 , B = 




1 2 0
1 0 2 dan C = 




2 2 3
1 1 1
a. Hitung B + C !
b. Hitung AB dan AC , kemudian tentukan AB + AC
c. Dari perhitungan B + C sebelumya, hitung A ( B + C ) kemudian bandingkan
hasilnya dengan jawaban dari b !
Matriks dan operasi – operasinya
Yuliant Sibaroni
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
5
3. Dari soal nomor 2, tentukan
a. ( AB )t dan ( AC )t !
b. Hitung BtAt dan CtAt , kemudian bandingkan hasilnya dengan jawaban a !
4. Tunjukkan apakah matriks B merupakan invers A !
a. A = 




2 0
2 4 dan B = 




−
−
−
2 2
0 4
8
1
b. A = 




0 0
1 3 dan B = 
